Une mesure de la courbure de la relation prix‑rendement d'une obligation qui affine l'approximation linéaire donnée par la duration en tenant compte du changement d'ordre deux du prix lorsque les taux évoluent.

Principe

La convexité correspond à la dérivée seconde du prix par rapport au rendement (ou au second terme de l'expansion de Taylor) et décrit comment la duration varie lorsque le rendement change ; une convexité élevée signifie des baisses de prix marginales plus faibles pour une hausse des taux et des gains marginaux plus élevés pour une baisse des taux, toutes choses égales par ailleurs.

Démonstration

Pour une obligation de 5 ans, coupon annuel 5%, valeur nominale 1 000 et rendement 4 %, le prix est la valeur actuelle des flux. La convexité C ≈ (1/P) Σ[t(t+1)·CF_t/(1+y)^{t+2}]. En substituant les flux on obtient un chiffre de convexité qui, combiné à la duration, fournit une estimation quadratique du changement de prix pour une petite variation de rendement (ΔP ≈ −Duration·Δy + 0,5·Convexité·(Δy)^2).

Mauvaise application

Employer la convexité comme prédicteur précis pour des variations importantes ou non parallèles de la courbe des taux, ou négliger que l'estimation de la convexité suppose des flux constants et des variations de taux régulières ; appliquer des corrections de convexité seules à des titres avec options intégrées sans modéliser le comportement d'exercice.

Conséquence

Associée à la duration, la convexité fournit une estimation plus précise de la sensibilité du prix d'une obligation aux variations des taux d'intérêt, améliorant la mesure du risque et les décisions de couverture pour des mouvements de taux faibles à modérés et facilitant une immunisation plus robuste.

Inversion

La convexité négative se produit lorsque le prix augmente moins lors d'une baisse des taux et diminue davantage lors d'une hausse des taux (ou inversement) par rapport au cas de convexité positive ; c'est courant pour les obligations remboursables par anticipation et les portefeuilles hypothécaires à cause de l'optionnalité.

Limite

La convexité concerne les instruments à revenu fixe valorisés comme flux actualisés et est pertinente pour les titres sans caractéristiques dépendantes du chemin, sauf si ces caractéristiques sont explicitement modélisées ; elle n'est pas un indicateur unique pour des flux qui varient avec les taux sans prise en compte de l'optionnalité.

Tension sémantique

La duration mesure la sensibilité linéaire (dérivée première) tandis que la convexité mesure la courbure (dérivée seconde) ; dans la pratique, les deux peuvent être en tension — un portefeuille à faible duration peut avoir une convexité élevée — d'où le risque d'interpréter la convexité isolément.

Synthèse

La convexité complète la duration : ensemble elles forment une approximation quadratique du changement de prix d'une obligation, capturant sensibilité linéaire et courbure, ce qui améliore l'évaluation du risque de taux pour des mouvements petits à modérés tout en reconnaissant les limites face à des chocs importants ou des titres optionnels.