Un modèle en temps discret à treillis recombinant qui représente le prix sous-jacent par des mouvements successifs à la hausse et à la baisse par pas et calcule les prix d'options par induction rétrograde en utilisant des probabilités risque‑neutres et la réplication sans arbitrage.

Principe

À chaque nœud, un portefeuille répliquant composé de l'actif sous-jacent et de cash est construit de sorte que l'option soit répliquée sur une période ; les probabilités risque‑neutres sont dérivées des facteurs up/down et du taux sans risque, puis on itère en remontant depuis les payoffs terminaux pour actualiser le prix de l'option.

Démonstration

Construire un arbre Cox‑Ross‑Rubinstein avec facteur up u, facteur down d et taux sans risque r sur N pas, calculer les payoffs aux nœuds terminaux, puis actualiser l'espérance des payoffs sous la mesure risque‑neutre en remontant l'arbre pour obtenir le prix de l'option ; l'augmentation de N conduit à la convergence vers le résultat en temps continu.

Mauvaise application

Utiliser trop peu d'étapes ou des paramétrages non recombinants produisant des prix biaisés ou instables, calculer incorrectement les probabilités risque‑neutres ou mal traiter les caractéristiques d'exercice anticipé pour des options de type américain entraîne des valorisations erronées.

Conséquence

Offre une méthode intuitive et sans arbitrage pour la tarification des options européennes et américaines et de certains payoffs path‑dépendants, est simple à mettre en œuvre numériquement et fournit des ratios de couverture discrets à chaque nœud pour l'information pratique de réplication.

Inversion

Les modèles en temps continu à formule fermée comme Black‑Scholes ou les méthodes de simulation Monte Carlo sont des alternatives ; lorsque le nombre d'étapes binomiales tend vers l'infini, le modèle discret converge vers la limite en temps continu sous des conditions de régularité.

Limite

Approximation discrète valable pour des actifs modélisés par des mouvements multiplicatifs up/down par pas ; nécessite la spécification de u et d (et parfois la recombinaison) et peut nécessiter des extensions pour capturer la volatilité stochastique, les sauts ou des dépendances pathologiques complexes.

Tension sémantique

Tension entre simplicité pédagogique/numérique et biais de discrétisation : le modèle binomial est intuitif et simple à calculer mais échange erreur de discrétisation et choix de paramètres contre commodité et vitesse de convergence.

Synthèse

Le modèle binomial d'évaluation d'options est un treillis discret sans arbitrage qui valorise les options par réplication et induction rétrograde ; il est flexible pour les caractéristiques américaines et converge vers les modèles en temps continu lorsque la taille des pas diminue, ce qui en fait un outil numérique et pédagogique pratique.