##  [Binomiales Optionspreis-Modell](/de/node/55166) 

 Definition

Ein zeitdiskretes, recombinierendes Gittermodell, das den Basispreis durch aufeinanderfolgende Auf‑ und Ab‑Bewegungen pro Schritt darstellt und Optionspreise durch Rückwärtsinduktion mittels risikoneutraler Wahrscheinlichkeiten und arbitragefreier Replikation berechnet.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

An jedem Knoten wird ein replizierendes Portfolio aus Basiswert und Geld aufgebaut, sodass die Option über eine Periode repliziert wird; risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus Up/Down‑Faktoren und dem risikofreien Zinssatz, und Terminalpayoffs werden rückwärts diskontiert, um den Optionspreis zu erhalten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Errichten Sie einen Cox‑Ross‑Rubinstein‑Baum mit Up‑Faktor u, Down‑Faktor d und risikofreiem Satz r über N Schritte, berechnen Sie die Payoffs an den Endknoten und diskontieren Sie dann die erwarteten Payoffs unter der risikoneutralen Maßnahme rückwärts durch den Baum, um den Optionspreis zu erhalten; mit wachsendem N konvergiert das Modell zur kontinuierlichen Lösung.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu wenige Schritte oder nicht recombinierende Parametrisierungen zu verwenden, die zu verzerrten oder instabilen Preisen führen, risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten falsch zu berechnen oder frühzeitige Ausübungsrechte amerikanischer Optionen falsch zu behandeln, kann zu falschen Bewertungen führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Bietet eine anschauliche, arbitragefreie Methode zur Preisbildung europäischer und amerikanischer Optionen sowie einiger pfadabhängiger Payoffs, ist numerisch einfach zu implementieren und liefert in jedem Knoten diskrete Hedging‑Verhältnisse für praktische Replikationshinweise.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Kontinuierliche Modelle mit geschlossenen Formen wie Black‑Scholes oder Monte‑Carlo‑Simulationsmethoden sind Alternativen; wenn die Anzahl der Binomialschritte gegen unendlich geht, konvergiert das diskrete Modell zur kontinuierlichen Grenze unter Regularitätsbedingungen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Eine diskrete Approximation, gültig für Assets, die durch multiplikative Up/Down‑Bewegungen pro Schritt modelliert werden; erfordert Festlegung von u und d (und oft Rekombination) und benötigt möglicherweise Erweiterungen zur Abbildung stochastischer Volatilität, Sprünge oder komplexer Pfadabhängigkeiten.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen pädagogischer/numerischer Einfachheit und dem Fehler durch endliche Schritte: das binomiale Modell ist intuitiv und rechnerisch einfach, tauscht jedoch Diskretisierungsfehler und Parameterabhängigkeit gegen Bequemlichkeit und Konvergenzgeschwindigkeit ein.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das binomiale Optionspreis‑Modell ist ein arbitragefreier diskreter Baum, der Optionen durch Replikation und Rückwärtsinduktion bewertet; es ist flexibel für amerikanische Merkmale und konvergiert bei Verkleinerung der Schrittweite zu kontinuierlichen Modellen, wodurch es ein praktisches numerisches und pädagogisches Werkzeug ist.